Soal dan Pembahasan Program Linier

Diposkan oleh Afif Asfar di 01:56:00

ADSENSE HERE!

1.   Program Linear

      1.   Program Linear 
      Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut hanya dapat menampung 400 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki-laki adalah Rp 10.000,00 dan keuntungan setiap pasang sepatu wanita adalah Rp 5.000,00. Jika banyaknya sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, maka tentukanlah keuntungan terbesar yang dapat diperoleh oleh pemilik toko.

*Pembahasan : 
fungsi tujuannya adalah :
F(x,y) = 10.000x + 5.000y

Dengan pemisalan :
sepatu laki-laki = x
sepatu perempuan = y

Sistem pertidaksamaan untuk soal tersebut adalah sebagai berikut :
 x + y <= 400
100 => x <= 150
150 => y <= 250
Karena maksimum sepatu laki-laki hanya 150 pasang, maka maksimum sepatu perempuan = 400 - 150 = 250

Dari sistem pertidaksamaan tersebut, maka diperoleh grafik sebagai berikut

Sistem pertidaksamaan linear

Dari grafik jelas telihat bahwa keuntungan maksimum berada pada titik pojok paling atas yaitu titik (150,250). Maka nilai maksimum dari fungsi tujuan F(x,y) = 10.000x + 5000y adalah :

F(150,250) = 150 (10.000) + 250 (5.000) = 2.750.000

Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh pemilik toko adalah Rp 2.750.000,00.

2)                  Menjelang hari raya Idul Adha, Pak Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Medan berturut-turut Rp 9.000.000,00 dan Rp 8.000.000,00. Modal yang dimiliki pak Mahmud adalah Rp 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Aceh dengan harga berturut-turut Rp 10.300.000,00 dan Rp 9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan maksimum, tentukanlah banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud.

Pembahasan :
Karena ditanya keuntungan, tentu fungsi tujuannya adalah besar keuntungan dari penjualan sapi dan kerbau. Untuk itu, tentukan terlebih dahulu keuntungan menjual sapi dan kerbau sebagai berikut :
untung sapi = Rp 10.300.000,00 - Rp 9.000.000,00 = Rp 1.300.000,00
untung kerbau = Rp 9.200.000,00 - Rp 8.000.000,00 = Rp 1.200.000,00

Misalkan banyak sapi = x dan banyak kerbau = y, maka fungsi tujuan menjadi :
F(x,y) = 1.300.000x + 1.200.000y

Model matematika yang memenuhi soal adalah :
x >= 0 ---> banyak sapi tidak mungkin negatif
y >= 0 ---> banyak kerbau tidak mungkin negatif
x + y <= 15 ---> karena kandang hanya dapat menampung 15 ekor.
Karena modal Pak Mahmud Rp 124.000.000,00 maka :
9.000.000x + 8.000.000y <= 124.000.000  ---> disederhanakan menjadi :
9x + 8y <= 124

Selanjutnya, kita tentukan titik koordinat masing-masing garis agar dapat kita gambar dalam grafik.
Untuk x + y = 15
jika x = 0, maka y = 15 ---> (0,15)
jika y = 0, maka x = 15 ---> (15,0)

Untuk 9x + 8y = 124
jika x = 0, maka y = 15,5 ---> (0, 16) ---> digenapkan karena jumlah sapi tidak mungkin 1/2.
jika y = 0, maka x = 13,7 ---> (13 ,0) ---> digenapkan menjadi 13 karena melihat kondisi grafik, titik ini akan menjadi titik pojok, jadi 13,7 tidak digenapkan ke 14 karena jika dibulatkan ke 14 maka akan lebih dari Rp 124.000.000,00.

Dari grafik di atas dieproleh tiga titik pojok yang memenuhi syarat untuk menghasilkan nilai maksimum yaitu titik A, B, dan C. Titi A dan C dapat ditentukan secara langsung yaitu A(0,15) dan C(13,0). Titik B merupakan titik potong antara garis x + y = 15 dan 9x + 8y = 124.

x + y = 15 , maka x = 15 - y ---> substitusi ke persamaan 9x + 8y = 124
9(15 - y) + 8y = 124
135 - 9y + 8y = 124
y = 11

x + y = 15

x + 11 = 15

x = 4 ----> jadi titik B(4,11)

Selanjutnya substitusi masing-masing titik ke fungsi tujuan :
A(0,15) ---> f(x,y) = 1.300.000(0) + 1.200.000(15) = 18.000.000
B(4,11) ---> f(x,y) = 1.300.000(4) + 1.200.000(11) = 18.400.000
C(13,0) ---> f(x,y) = 1.300.000(13) + 1.200.000(0) = 16.900.000

Jadi, agar keuntungannya maksimum, jumlah sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud adalah 4 ekor sapi dan 11 ekor kerbau. 

2    2.    Matriks

 1)

1

*Pembahasan :

 2)

         

          *Pembahasan :

3                      3. Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

1)    Diberikan dua buah fungsi masing-masing f(x) dan g(x) berturut-turut adalah:

f(x) = 3x + 2
g(x) = 2 − x

Tentukan:
a) (f o g)(x)
b) (g o f)(x)

*Pembahasan :

a) (f o g)(x)
"Masukkan g(x) nya ke f(x)" 

sehingga:
(f o g)(x) = f ( g(x) ) 
= f (2 − x) 
= 3(2 − x) + 2 
= 6 − 3x + 2 
= − 3x + 8

b) (g o f)(x)
"Masukkan f (x) nya ke g (x)" 

sehingga:
(g o f)(x) = g ( f (x) ) 
= g ( 3x + 2) 
= 2 − ( 3x + 2)
= 2 − 3x − 2 
= − 3x

2)     Diketahui f(x) = x³ + 4 dan g(x) = 2sinx. Nilai dari (f o g)(-90) adalah…

*Pembahasan :

 (f o g)(x) = f(g(x))

= (g(x))³ + 4

= (2sinx)³ + 4

= 8sin³x + 4

Jadi, ( f o g) (-90) adalah

= 8sin³(-90) + 4

= 8.(-1) + 4

= -8 + 4 = -4.

4.       Persamaan Garis Lurus

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 1) dan tegak lurus dengan garis y = 2x + 5

*Pembahasan :

1)      Dua buah garis saling tegak lurus jika memenuhi syarat sebagai berikut
m₁ ⋅ m₂ = −1

y = 2x + 5 memiliki gradien m1 = 2, sehingga garis yang akan dicari persamaannya harus memiliki gradien
m₁ ⋅ m₂ = −1
2 ⋅ m₂ = −1
m₂ = − 1/2

Tinggal disusun persamaan garisnya
y − y₁ = m(x − x₁)
y − 1 = ¹/₂(x − 3)
y − 1 = ¹/₂ x − 3/2
y = ¹/₂ x − ³/₂ + 1
y = ¹/₂ x = ¹/₂

2)      Persamaan garis lurus yang melalui titik (–2, –1) dan tegak lurus garis 4x – 3y + 5 = 0 adalah ....

A.   4y + 3x + 10 = 0                             C. 4y – 3x + 10 = 0

B.   4y + 3x – 10 = 0                             D. 4y – 3x – 10 = 0

*Pembahasan :

Persamaan Garis melalui (–2, –1) dan tegak lurus 4x – 3y + 5 = 0

4x – 3y + 5 = 0

a = 4

b = -3

m₁ = -a / b

m₁ = -4 / -3 = 4/3

Karena persamaan garis yang kita cari tegak lurus dengan garis yang diketahui maka kita cari m₂ sehingga berlaku m₁ x m₂ = -1.

m₁ x m₂ = -1

4/3 x m₂ = -1

m₂ = -3/4

Persamaan Garis yang dicari adalah

y – y₁   = m₂ (x – x₁)

y – (-1) = -3/4 (x – (-2))

y + 1    = -3/4 (x + 2)

4(y + 1) = -3(x + 2)

4y + 4 = -3x -6

4y + 3x + 4 + 6 = 0

4y + 3x + 10 = 0 (A)

5.     Barisan Dan Deret Tak Hingga

1)      Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi 3/4 dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ?

A. Rp. 20.000.000,00

B. Rp. 25.312.500,00

C. Rp. 33.750.000,00

D. Rp. 35.000.000,00

E. Rp. 45.000.000,00

*Pembahasan :

rasionya 3/4 dan termasuk dalam deret geometri.

Yang jadi pertanyaannya adalah suku ke-4 dengan a = 80.000.000

u₄ = ar³ = 80.000.000(3/4)³ = 33.750.000 (C)

2)      Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3/4 kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah …

A. 65m

B. 70m

C. 75m

D. 77m

E. 80m

*Pembahasan :

Karena bola memantul terus-terusan sampai berhenti, berarti ini termasuk deret geometri tak hingga. Untuk mencari panjang lintasan bola yang memantul ini, rumus yang digunakan adalah

Panjang lintasan = ketinggian bola jatuh + 2(kali deret takhingga)

Dalam deret takhingga ini, yang menjadi suku pertamaya adalah pantulan pertama (bukan ketinggian bola jatuh pada awal).

Pantulan pertama = 10 x 3/4 = 30/4 m (suku pertama)

      6.     Rumus-Rumus Segitiga dalam Trigonometri

1  1)      Pada segitiga ABC, ∠ A =30^o, BC = 6 dan AC = 10, tentukan berapa besar ∠B

*Pembahasan :

∠B = BC/sin A = AC/ sin B
6/ sin 30^o = 10/ sin B
6/ 0,5 = 10 / sin B
12 = 10/sin B
sin B = 10/12 = 5/6
maka sudut B adalah 56,44^o

Tentukan jarak antar titik Pdan Q

*Pembahasan :

Dari gambar di atas terlihat bentuk segitiga dan jarak antar titik P dan Q bisa dicari dengan menggunakan aturan cosinus.

Besar sudut POQ = 180^o – (75^o+45^o) = 60^o.
PQ² = OQ² + OP² – 2.OQ.OP cos ∠POQ
PQ² = 3² + 5² – 2.3.5 cos 60^o c
PQ² = 9 + 25 – 30. 0,5
PQ² = 9 + 25 -15
PQ² = 19
PQ = √19 = 4,36

ADSENSE HERE!